散乱振幅と断面積の部分波公式

量子力学入門　第11部 第4章 §11.4.3　★★ $f=\frac1k\sum(2\ell+1)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_\ell}\sin\delta_\ell P_\ell$、$\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell$。ユニタリ限界。

境界条件 (11.2.1) を部分波で書く：$\psi=\sum_\ell A_\ell\,\frac{u_\ell(r)}{r}P_\ell(\cos\theta)$ の遠方形が「(11.4.1) の平面波＋外向き波のみ」となるよう $A_\ell$ を決める。(11.4.1) と (11.4.2) の漸近形を突き合わせ、内向き球面波の係数が平面波のそれと一致することを要求すると $A_\ell=(2\ell+1)\mathrm{i}^\ell\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_\ell}/k$ が決まり、外向き波の差額として散乱振幅が出る：

$$\boxed{\ f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_{\ell=0}^\infty(2\ell+1)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_\ell}\sin\delta_\ell\,P_\ell(\cos\theta)\ }\tag{11.4.3}$$

これを $|f|^2$ にして立体角で積分すると、Legendre 多項式の直交性 $\int P_\ell P_{\ell'}\mathrm{d}\Omega=\frac{4\pi}{2\ell+1}\delta_{\ell\ell'}$ により交差項が消え、

$$\boxed{\ \sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell=0}^\infty(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell\ }\tag{11.4.4}$$

——全断面積は「$\ell$ ごとの寄与の単純和」に分解された。各部分波の寄与には上限

$$\sigma_\ell\le\frac{4\pi(2\ell+1)}{k^2}\qquad(\text{ユニタリ限界：}\sin^2\delta_\ell\le1)$$

があり、これを飽和する $\delta_\ell=\pi/2$ が共鳴（第5章）である。

どこまでの $\ell$ が効くか。 半古典的には角運動量 $\hbar\ell\simeq$（運動量）$\times$（衝突径数）$=\hbar k b$。到達距離 $a$ のポテンシャルに「当たる」のは $b\lesssim a$、つまり

$$\ell\ \lesssim\ ka$$

——低エネルギー（$ka\ll1$）では s 波（$\ell=0$）だけが効く。部分波法が低エネルギーで無敵なのはこのためで、無限和が実質1項で終わる（遠心力障壁 $\propto\ell(\ell+1)/r^2$ が高い $\ell$ の波をポテンシャルに近づけない、と言ってもよい）。