光学定理

量子力学入門　第11部 第4章 §11.4.4　★★ $\sigma=\frac{4\pi}{k}\,\mathrm{Im}\,f(0)$。確率保存（前方の影）が生む名の付いた基本定理。

(11.4.3) で $\theta=0$（$P_\ell(1)=1$）と置き虚部を取ると $\mathrm{Im}f(0)=\frac1k\sum(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell$。(11.4.4) と見比べて

$$\boxed{\ \sigma=\frac{4\pi}{k}\,\mathrm{Im}\,f(0)\ } \qquad(\text{\textbf{光学定理}})\tag{11.4.5}$$

——全断面積（全方向への散乱の総量）が、前方散乱振幅の虚部という1つの数で決まる。一見不思議だが、正体は確率保存である：散乱された分だけ前方のビームは減っていなければならず、その減衰は入射波と前方散乱波の干渉（第2章で棚上げにした項！）でしか作れない。「影は前方干渉でできる」——影の総量＝全断面積、を式にしたものが (11.4.5) である。なお Born 近似の $f_{\rm B}$ は（$\tilde V$ 実なら）実関数で光学定理を満たさないが、これは矛盾ではなく「$\mathrm{Im}f$ は $V$ の2次から始まるので1次の近似には現れない」という次数勘定の帰結である。