散乱長

外部解 $u_0=\sin(kr+\delta_0)$ に壁の条件 $u_0(a)=0$ を課すだけである：

$$\sin(ka+\delta_0)=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \delta_0=-ka\ }$$

（斥力なので確かに負＝押し出し）。散乱長は $a_s=a$（壁の位置そのもの）、低エネルギー断面積は

$$\sigma=4\pi a^2$$

——幾何学的断面積 $\pi a^2$ のちょうど4倍である（極限の計算は SymPy でも確認済み）。古典より大きいのは、波長が球より長い波（$ka\ll1$）が球を「回り込んで」全方位から感じるため——障害物の後ろに回り込む回折と同じ現象で、低エネルギー散乱が等方的（s 波：角度依存なし）であることとも整合する。逆の高エネルギー極限では $\sigma\to2\pi a^2$（幾何学的断面＋前方回折の影）となることが知られており、古典値 $\pi a^2$ にはどちらの極限でも一致しない——波動性は消えないのである。$\blacksquare$

$k\to0$ の内部解は $u_0\propto\sin(\kappa r)$（$\kappa=\sqrt{2mV_0}/\hbar$）、外部解は $u_0\propto(r-a_s)$。$r=a$ で対数微分を接続すると

$$\kappa\cot(\kappa a)=\frac{1}{a-a_s} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ a_s=a\Bigl[1-\frac{\tan(\kappa a)}{\kappa a}\Bigr]\ }$$

（この式は位相のずれの数値計算と4桁一致を確認済み）。読み方：

• 浅い井戸（$\kappa a\ll1$）：$a_s\simeq-\frac{(\kappa a)^2}{3}a<0$——弱い引力の散乱長は負（波動関数が内側に引き込まれ、外挿直線が軸を負の側で切る；図 4.1）。
• $\kappa a\to\pi/2$：$\tan$ が発散し $a_s\to\pm\infty$。この $V_0^*=\pi^2\hbar^2/8ma^2$ はちょうど束縛状態が1個生まれるしきい値であり、「エネルギー0の束縛状態＝無限大の散乱長」という第5章冒頭の主張の実演である。しきい値の直前で $a_s\to-\infty$、直後（浅い束縛状態が存在）で $a_s\to+\infty$——断面積 $4\pi a_s^2$ は際限なく大きくなる。
• 深い極限（$\kappa a\gg1$）：$a_s\to a$ 付近を振動——剛体球に近づく。

中性子・陽子の $s$ 波散乱長が核力の到達距離（$\sim2$ fm）より1桁大きいのは、重陽子（triplet）・仮想状態（singlet）がしきい値のすぐ近くにいるためであり、冷却原子の Feshbach 共鳴は「外部磁場で束縛状態の位置をしきい値の前後に動かして $a_s$ を $\pm\infty$ の間で自在に操る」技術——本例題の物理そのものである。$\blacksquare$