共鳴と Breit–Wigner 公式

量子力学入門　第11部 第5章 §11.5.2　★★ $\delta_\ell$ が $\pi/2$ を横切る共鳴＝Lorentz 型ピーク。幅 $\Gamma\leftrightarrow$ 寿命 $\hbar/\Gamma$。

エネルギーを上げていくと、位相のずれが特定のエネルギー $E_R$ の近くで急激に $\pi$ だけ立ち上がることがある。$\delta_\ell$ が $\pi/2$ を横切る点でユニタリ限界が飽和され、断面積が鋭いピークを作る——共鳴である。$\delta_\ell(E)$ を $E_R$ のまわりで

$$\cot\delta_\ell(E)\simeq-\frac{E-E_R}{\Gamma/2}$$

と展開（$\Gamma$：立ち上がりの幅）すると、$\sin^2\delta_\ell=1/(1+\cot^2\delta_\ell)$ より

$$\boxed{\ \sigma_\ell(E)=\frac{4\pi(2\ell+1)}{k^2}\,\frac{(\Gamma/2)^2}{(E-E_R)^2+(\Gamma/2)^2}\ } \qquad(\text{\textbf{Breit--Wigner 公式}})\tag{11.5.2}$$

——Lorentz 型の共鳴曲線である。物理的な描像：ポテンシャルの内側（あるいは遠心力障壁の内側）に「ほとんど束縛された」準安定状態があり、入射粒子が一時的にそこへ捕まって（滞在時間 $\tau\sim\hbar/\Gamma$：エネルギー幅と寿命の関係、第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』）、あらためて放出される——散乱が「素通り」でなく「一旦つかまる」2段過程になるため断面積が跳ね上がる。トンネル効果（第7部の第7章）で見た「障壁の内側の準位」が、散乱実験では共鳴ピークとして直接見えるわけで、原子核・素粒子物理では共鳴ピーク＝新粒子（準安定状態）の発見を意味する（$\Delta$ 粒子や $J/\psi$ はこうして見つかった）。

低エネルギーの s 波では、共鳴は散乱長の発散として現れる：束縛状態がちょうどエネルギー $0$ に現れる瞬間に $a_s\to\pm\infty$（引力を強めていくと $a_s$ は $+\infty\to-\infty$ へ飛ぶ）。浅い束縛状態がある系は異常に大きな断面積をもつ——中性子・陽子散乱（重陽子の浅い束縛）や冷却原子の Feshbach 共鳴（外部磁場で $a_s$ を自在に制御する技術）の基礎である。