束縛状態は虚軸上の極

量子力学入門　第11部 第6章 §11.6.1　★ 正の虚軸上の $S_\ell$ の極 $\iff$ 束縛状態（散乱長近似で $k=\mathrm{i}/a_s$）。発展。

位相のずれ $\delta_\ell(k)$——あるいは S 行列 $S_\ell(k)=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_\ell(k)}$——を複素の $k$ の関数として眺めると、散乱・束縛状態・共鳴が1枚の解析的な絵に統一される。本章はその見取り図である。

散乱解の遠方形を $u_\ell\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kr}-S_\ell(k)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i} kr}$（入射＋出射）と書き、$k$ を複素数に解析接続する。$k=\mathrm{i}\kappa$（$\kappa>0$）と置くと、第1項は $\mathrm{e}^{\kappa r}$（発散）、第2項は $\mathrm{e}^{-\kappa r}$（減衰）——$S_\ell$ がそこで極をもてば、発散する成分が消えて純減衰解＝束縛状態（$E=-\hbar^2\kappa^2/2m<0$）が残る。すなわち

$$\boxed{\ \text{正の虚軸上の }S_\ell(k)\text{ の極}\ \Longleftrightarrow\ \text{束縛状態}\ }$$

低エネルギーの $S_0\simeq\dfrac{-1/a_s-\mathrm{i} k}{-1/a_s+\mathrm{i} k}$（散乱長近似）で確かめると、極は $k=\mathrm{i}/a_s$——$a_s>0$ で正の虚軸に乗り、束縛エネルギー $E_b=\hbar^2/2ma_s^2$ の浅い束縛状態に対応する。第5章の「$a_s\to+\infty\iff$ しきい値上の束縛状態」が、極が原点に迫る様子として見える（重陽子：triplet 散乱長 $5.4$ fm からの見積もり $E_b\sim1.4$ MeV は実測 $2.22$ MeV と同桁で、有効距離補正を入れると近づく）。