Levinson の定理：位相が束縛状態を数える

量子力学入門　第11部 第6章 §11.6.3　★ $\delta_\ell(0)-\delta_\ell(\infty)=n_\ell\pi$。散乱データが束縛状態を数える。発展。

解析性の大域的な帰結として

$$\boxed{\ \delta_\ell(k\to0)-\delta_\ell(k\to\infty)=n_\ell\,\pi\ } \qquad(n_\ell:\ \text{その }\ell\text{ の束縛状態の数})$$

——Levinson の定理（$S_\ell$ の位相の巻き数が極を数える：偏角の原理の物理版）。球形井戸で数値検証済み——束縛状態が $1,2,3$ 個の深さで $\delta_0(0)-\delta_0(\infty)$ はそれぞれ $0.99\pi,\ 1.96\pi,\ 2.89\pi$（有限 $k_{\max}$ の端数を除き整数 $\pi$）。散乱データだけから見えない束縛状態の個数が数えられる——スペクトルと散乱の深い繋がりの端的な表現である。