井戸の透過率：厳密解

量子力学入門　第11部 第7章 §11.7.1　★ $T(E)$ と共鳴透過 $qa=n\pi$（Ramsauer–Townsend 効果）。補講。

3次元の共鳴（Breit–Wigner）の機構を、計算が完全に手で追える1次元で解剖しておく。有限の井戸を波が透過する問題は、干渉計そのものである。

深さ $V_0$・幅 $a$ の井戸にエネルギー $E>0$ の波が入射する。外の波数 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$、中の波数 $q=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar$ として、両端の接続（転送行列）から

$$\boxed{\ T(E)=\Bigl[1+\frac{(q^2-k^2)^2}{4k^2q^2}\,\sin^2(qa)\Bigr]^{-1}\ }\tag{11.7.1}$$

一般には $T<1$（井戸ですら波の一部は反射する——古典粒子なら素通りするのに！）だが、

$$\sin(qa)=0\quad\Longleftrightarrow\quad qa=n\pi$$

のとき厳密に $T=1$（共鳴透過；この条件で $T=1.000000$ となることは数値でも確認済み）。条件 $qa=n\pi$ は「井戸の中に半波長がちょうど整数個」——井戸の両端で反射した波どうしが、反射方向で完全に打ち消し合う干渉条件である。薄膜の反射防止コーティング・Fabry–Pérot 干渉計と同じ物理であり、実験では希ガス原子に対する低エネルギー電子の異常な「透明化」（Ramsauer–Townsend 効果、1921）として量子力学以前から観測されていた。