選択則：どの遷移が許されるか

量子力学入門　第12部 第1章 §12.1.3　★★★ 選択則 $\Delta\ell=\pm1,\ \Delta m=0,\pm1$＝遷移の可否を決める核

$\bm{d}_{fi}=0$ なら（双極子近似の範囲で）遷移は起きない。行列要素 $\langle n'\ell'm' | \hat{\bm{r}} | n\ell m \rangle$ がゼロにならない条件を対称性で読む。

パリティ. $\hat{\bm{r}}$ は奇。水素の状態のパリティは $(-1)^\ell$ だから、行列要素が生き残るには始・終状態のパリティが逆、すなわち $\Delta\ell$ が奇数でなければならない（第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の選択則の議論そのもの）。

角運動量（Wigner–Eckart）. $\hat{\bm{r}}$ はランク1の球面テンソル（成分 $r_q\propto rY_{1q}$）である。第4部『スピンと角運動量合成』の合成則により、$Y_{1q}\,Y_{\ell m}$ を展開すると $\ell'=\ell\pm1,\ell$ の成分しか現れず（$1\otimes\ell=(\ell{+}1)\oplus\ell\oplus(\ell{-}1)$）、$m'=m+q$。パリティが $\ell'=\ell$ を殺すので、まとめて

$$\boxed{\ \Delta\ell=\pm1,\qquad \Delta m=0,\pm1\ }\tag{12.1.2}$$

（スピンは $\hat{\bm{r}}$ に触られないので $\Delta s=0$、$\Delta m_s=0$）。物理の言葉では：光子はスピン1を持ち去る——角運動量保存が $\Delta\ell=\pm1$ の正体であり、$\Delta m$ は光の偏光（$q=0$：直線偏光 $\pi$、$q=\pm1$：円偏光 $\sigma^\pm$）に対応する。

選択則に反する遷移は「禁制」だが、絶対に起きないのではない：双極子近似の次の項（磁気双極子 M1・電気四重極 E2）が $(a_0/\lambda)\sim\alpha$ の因子だけ抑制されたレートで拾う。極端な例が水素 $2s$ 状態——$1s$ への E1 は $\Delta\ell=0$ で禁制、M1 もほぼ消え、結局2光子放出で落ちるため寿命は $0.12$ 秒（$2p$ の1億倍）。「禁制線」は低密度プラズマ（星雲・オーロラ）の診断に使われる——衝突で壊される前に光れる環境でだけ見えるからである。