微細構造の公式：$n$ と $j$ だけで決まる

量子力学入門　第12部 第2章 §12.2.2　★★ $n$ と $j$ だけで決まる微細構造・Lamb シフト

3つの補正はどれも $\alpha^4mc^2$ のオーダーで、同時に1次摂動として足す。水素の標準的な期待値 $\langle 1/r \rangle$、$\langle 1/r^2 \rangle$、$\langle 1/r^3 \rangle$ と $|\psi(0)|^2$ を代入して整理すると、$\ell$ 依存が奇跡的に打ち消し合い、

$$\boxed{\ E_{nj}=E_n\Bigl[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\Bigl(\frac{n}{j+\frac12}-\frac34\Bigr)\Bigr]\ }\tag{12.2.1}$$

——エネルギーは$n$ と $j$ だけに依存する（Dirac 方程式の厳密解の $\alpha^2$ 展開と一致する；打ち消しは偶然でなく、Dirac 理論の対称性の名残である）。帰結：

• $n=2$ は $2s_{1/2},2p_{1/2}$（$j=\frac12$、縮退のまま）と $2p_{3/2}$（$j=\frac32$）の2グループに割れ、間隔は $\sim4.5\times10^{-5}$ eV（$10.9$ GHz）。ナトリウム D 線が2本（$589.0/589.6$ nm）に見えるのも同じ機構（$3p_{1/2}$ と $3p_{3/2}$）である。
• 式 (12.2.1) が残す $2s_{1/2}$–$2p_{1/2}$ の縮退は、実際には $1058$ MHz だけ割れている（Lamb シフト、1947）——電磁場の零点振動による補正で、QED の精密検証の出発点になった。

図 2.1：水素 $n=2$ の構造の階層。Bohr の縮退 → 微細構造（$j$ で分裂）→ Lamb シフト（QED）。