磁場中の原子：Zeeman 効果と Landé の $g$ 因子

量子力学入門　第12部 第2章 §12.2.3　★★ Zeeman 効果・Landé の $g$ 因子・射影定理

磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_z$ 中の摂動は

$$\hat H_{\rm Z}=\frac{\mu_B}{\hbar}\bigl(\hat L_z+2\hat S_z\bigr)B =\frac{\mu_B}{\hbar}\bigl(\hat J_z+\hat S_z\bigr)B$$

——厄介なのは係数の2（電子の $g=2$）で、これがなければ $\hat J_z$ に比例して話が終わるところ、$\hat S_z$ が $| j,m_j \rangle$ 基底で対角でない。

弱磁場（$\mu_BB\ll\Delta E_{\rm fs}$）：異常 Zeeman 効果.

微細構造の $j$ 多重項の内部での1次摂動を考える。ここで射影定理（第4部『スピンと角運動量合成』の Wigner–Eckart の帰結）が効く：$j$ 固定の部分空間では、任意のベクトル演算子は $\hat{\bm{J}}$ に比例する——

$$\langle jm' | \hat{\bm{S}} | jm \rangle =\frac{\langle \hat{\bm{S}}\cdot\hat{\bm{J}} \rangle _j}{j(j+1)\hbar^2}\,\langle jm' | \hat{\bm{J}} | jm \rangle$$

（直感：$j$ 空間で見えるのは $\bm{S}$ の $\bm{J}$ 方向への射影だけで、垂直成分は $m$ を変える成分として平均で消える）。$\hat{\bm{S}}\cdot\hat{\bm{J}}=\frac12(\hat{\bm{J}}^2+\hat{\bm{S}}^2-\hat{\bm{L}}^2)$ を入れて整理すると

$$E_{\rm Z}=g_J\,\mu_B\,B\,m_j,\qquad \boxed{\ g_J=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-\ell(\ell+1)}{2j(j+1)}\ }\tag{12.2.2}$$

——Landé の $g$ 因子。準位は $m_j$ に等間隔で割れるが、間隔が項ごとに違う（$s_{1/2}$：$g=2$、$p_{1/2}$：$g=\frac23$、$p_{3/2}$：$g=\frac43$）。歴史的に「異常」と呼ばれたこの多彩な分裂パターンこそ、スピンの存在（$g=2$）の最初の証拠だった（射影定理の係数は $\ell=1,s=\frac12,j=\frac32$ の場合について数値対角化で独立検証済み）。

強磁場（$\mu_BB\gg\Delta E_{\rm fs}$）：Paschen–Back 効果.

磁場が微細構造を圧倒すると、良い基底は $j$ 基底ではなく積基底 $| m_\ell,m_s \rangle$ に戻り、

$$E_{\rm Z}=\mu_BB\,(m_\ell+2m_s)$$

——分裂は3本（$\Delta m_\ell=0,\pm1$ の選択則を通すと）の「正常 Zeeman」型に単純化する。どちらの極限でも「強い方の摂動が先に基底を決める」——縮退摂動論の「正しい0次基底は対称性と摂動の力関係で決まる」という教訓（第6部『摂動論と変分法』の第1章）の、最も有名な実例である。