Klein–Gordon 方程式とその困難

量子力学入門　第13部 第1章 §13.1.1　★★ 中核概念：相対論的波動方程式の出発点と2つの病（発展）

Schrödinger 方程式は $E=\bm{p}^2/2m$ の量子化（$E\to\mathrm{i}\hbar\partial_t$、$\bm{p}\to-\mathrm{i}\hbar\nabla$）だった。相対論的な分散関係 $E^2=\bm{p}^2c^2+m^2c^4$ に同じ置き換えを施すと

$$\Bigl[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Bigr]\varphi=0 \qquad(\text{\textbf{Klein--Gordon 方程式}})$$

——最も素直な相対論的波動方程式である。しかし2つの深刻な問題を抱える。

(i) 確率が正定値でない. 時間について2階なので、保存する流れの密度は $\rho\propto\mathrm{i}(\varphi^*\partial_t\varphi-\varphi\,\partial_t\varphi^*)$ という形になり、正にも負にもなれる——「確率密度」と解釈できない（2階方程式は $\varphi$ と $\dot\varphi$ を独立に指定でき、$\rho$ の符号を選べてしまう）。

(ii) 負エネルギー解. $E=\pm\sqrt{\bm{p}^2c^2+m^2c^4}$ の両符号が解として現れ、エネルギーが下に有界でない——相互作用があれば系はどこまでも落ちていける。

Dirac（1928）の診断は「病因は時間2階にある。時間1階で、かつ相対論的（空間とも1階で対等）な方程式を作ればよい」だった。この一手が、誰も予期しなかった贈り物——スピン——を連れてくる。なお KG 方程式自体が捨てられたのではない：確率解釈を捨てて場の方程式と読み替えれば、スピン0粒子（$\pi$ 中間子・Higgs）の正しい記述である。