分散関係の「平方根」を取る

量子力学入門　第13部 第2章 §13.2.1　★★ 中核：1階要求$\to$反交換代数$\to$4成分スピノル

求める形は

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H_{\rm D}\psi,\qquad \hat H_{\rm D}=c\,\bm{\alpha}\cdot\hat{\bm{p}}+\beta mc^2$$

——空間微分も1階、係数 $\bm{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),\beta$ は未知。これが正しい分散関係をもつ条件は、2乗して $\hat H_{\rm D}^2=c^2\hat{\bm{p}}^2+m^2c^4$ に戻ること。展開して交差項が消える条件を読むと

$$\boxed{\ \{\alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij},\qquad \{\alpha_i,\beta\}=0,\qquad \beta^2=1\ }$$

——反交換代数である。ただの数では満たせない（数は可換）。行列なら可能で、最小の次元は $4\times4$：たとえば（Dirac 表示）

$$\bm{\alpha}=\begin{pmatrix}0&\bm{\sigma}\\\bm{\sigma}&0\end{pmatrix},\qquad \beta=\begin{pmatrix}\hat1&0\\0&-\hat1\end{pmatrix}$$

（$\bm{\sigma}$：Pauli 行列。この組が上の代数をすべて満たすことは行列計算で確認済み）。したがって波動関数 $\psi$ は4成分（Dirac スピノル）——「1階にせよ」という要求だけから、内部自由度が強制された。2成分×2の内訳は「スピン上下 × 粒子/反粒子」であることがこれから分かっていく。

時間1階なので保存密度は $\rho=\psi^\dagger\psi\ge0$——正定値の確率密度が回復する（KG の病 (i) の治癒）。病 (ii)（負エネルギー）は残るが、それは第4章で「病」から「予言」に変わる。