水素原子の厳密解（結果）

量子力学入門　第13部 第2章 §13.2.2　★ 結果紹介：微細構造が$j$のみに依る理由（背景）

Coulomb 場中の Dirac 方程式は厳密に解け、束縛状態のエネルギーは

$$E_{nj}=mc^2\Bigl[1+\Bigl(\frac{\alpha}{n-(j+\frac12)+\sqrt{(j+\frac12)^2-\alpha^2}}\Bigr)^{\!2}\Bigr]^{-1/2}$$

——$\alpha$ で展開すると（SymPy で検証済み）

$$E_{nj}=mc^2-\frac{mc^2\alpha^2}{2n^2}-\frac{mc^2\alpha^4}{2n^4}\Bigl(\frac{n}{j+\frac12}-\frac34\Bigr)+O(\alpha^6)$$

——静止エネルギー・Bohr のスペクトル・そして第12部の第2章の微細構造公式が第3項として厳密に再現される。摂動論で3つの補正（スピン軌道・$p^4$・Darwin）を足したとき「$\ell$ 依存が奇跡的に消えて $j$ だけ残った」のは偶然ではなく、Dirac 方程式のレベルでは最初から $j$ しか登場しないことの影だったのである。