大成分と小成分

量子力学入門　第13部 第3章 §13.3.1　★ 技術ステップ：小成分の消去（背景）

電磁場と結合させる（第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の最小結合 $\hat{\bm{p}}\to\hat{\bm{\pi}}=\hat{\bm{p}}-q\bm{A}$、$\hat H\to\hat H-q\phi$… 電子は $q=-e$）。スピノルを上下2成分ずつ $\psi=(\chi,\eta)^T$ に分け、静止エネルギーを位相で括り出す（$\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i} mc^2t/\hbar}\psi$）と、Dirac 方程式は連立

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\chi=c\,(\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{\pi}})\,\eta+q\phi\,\chi, \qquad \mathrm{i}\hbar\,\partial_t\eta=c\,(\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{\pi}})\,\chi+(q\phi-2mc^2)\,\eta$$

になる。第2式で $2mc^2$ が支配する非相対論的な状況では $\eta\simeq\frac{\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{\pi}}}{2mc}\chi$——小成分 $\eta$ は大成分 $\chi$ の $v/c$ 倍の付録である。これを第1式に代入すると、2成分 $\chi$ の閉じた方程式

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\chi=\Bigl[\frac{(\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{\pi}})^2}{2m}+q\phi\Bigr]\chi$$

が得られる。