恒等式の展開：スピンと磁場の結合が「ただで」出る

量子力学入門　第13部 第3章 §13.3.2　★★ 中核：Pauli 方程式から $g=2$ が自動で出る（発展）

Pauli 行列の恒等式 $(\bm{\sigma}\cdot\bm{a})(\bm{\sigma}\cdot\bm{b})=\bm{a}\cdot\bm{b}+\mathrm{i}\bm{\sigma}\cdot(\bm{a}\times\bm{b})$ を、演算子（$\hat\pi_i$ どうしは非可換！）に注意して使うと

$$(\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{\pi}})^2=\hat{\bm{\pi}}^2+\mathrm{i}\,\bm{\sigma}\cdot(\hat{\bm{\pi}}\times\hat{\bm{\pi}}) =\hat{\bm{\pi}}^2-q\hbar\,\bm{\sigma}\cdot\bm{B}$$

（$\hat{\bm{\pi}}\times\hat{\bm{\pi}}=\mathrm{i} q\hbar\bm{B}$：第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の第1章で磁気並進の非可換性として計算した、まさにあの交換子である）。代入すると

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\chi=\Bigl[\frac{\hat{\bm{\pi}}^2}{2m}+q\phi-\frac{q\hbar}{2m}\,\bm{\sigma}\cdot\bm{B}\Bigr]\chi \qquad(\text{\textbf{Pauli 方程式}})\tag{13.3.1}$$

最後の項を $-\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}$、$\hat{\bm{\mu}}=g\frac{q}{2m}\hat{\bm{S}}$（$\hat{\bm{S}}=\frac\hbar2\bm{\sigma}$）と読み比べると

$$\boxed{\ g=2\ }$$

——電子の $g$ 因子 2 は、Dirac 方程式の非相対論極限が自動的に吐き出す。非相対論の量子力学では「実験値として天下り」だった $g=2$（第4部『スピンと角運動量合成』・第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』）と、スピンという自由度そのものが、相対論＋1階性という原理だけから導出された——Dirac 方程式の最大の勝利である。実測の $g=2.00232\dots$ のずれ（異常磁気モーメント）は電子が光子の雲をまとう QED 補正 $\frac{\alpha}{\pi}+\cdots$ で説明され、理論と実験が12桁で一致する物理学最精密の検証になっている。

さらに $1/c^2$ の次の次数まで展開すると、スピン軌道相互作用（Thomas の $\frac12$ が正しい係数で自動的に）、Darwin 項、$p^4$ 補正——第12部の第2章で手作業で足した3補正——がすべて正しい係数で現れる。微細構造の摂動計算は、Dirac 方程式の系統的な $1/c$ 展開だったのである。