海の仮説から場の理論へ

量子力学入門　第13部 第4章 §13.4.1　★★ 中核：空孔＝陽電子、負エネルギー解の正しい読み方（発展）

Dirac 方程式にも $E<0$ の解は残っている（自由粒子で $E=\pm\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$；4成分のうち2つが負枝に対応）。Dirac の当初の答えが Dirac の海：真空とは「負エネルギー準位がすべて電子で満席の状態」であり、Pauli 原理が落下を禁じる。満席の海から電子を1個 $E>0$ へ汲み上げると、海に空孔が残る——空孔は「負エネルギー・電荷 $-e$ の不在」＝正エネルギー・電荷 $+e$ の粒子として振る舞う。かくして Dirac 方程式は電子と同じ質量で逆符号の電荷をもつ粒子——陽電子——を予言し、1932年に Anderson が宇宙線中に発見した。「方程式が粒子を予言した」最初の劇的な例である。

図 4.1：Dirac の海。真空＝負エネルギー準位の満席状態。$E>2mc^2$ の光子が海の電子を汲み上げると、電子と空孔（陽電子）が対で生まれる。

海の描像は成功したが、ボゾン（Pauli 原理がない）には使えず、「無限に詰まった海」という不気味さも残る。現代的な解決は場の量子論（第9部『同種粒子と第二量子化』の第2章の第二量子化の言葉）：負エネルギー解の展開係数を「粒子の消滅演算子」ではなく反粒子の生成演算子と読み替える。すると (i) ハミルトニアンは正定値になり、(ii) 反粒子はボゾン・フェルミオンを問わず統一的に現れ、(iii) 粒子・反粒子の対生成/対消滅（$E=mc^2$ の実演）が形式に最初から組み込まれる。KG 方程式の「負の確率密度」も、場の理論では電荷密度（正負があって当然）と読み替えられて無害化する——第1章の2つの病は、どちらも「1粒子の量子力学」という枠が相対論では狭すぎた（エネルギーが $2mc^2$ を超えれば粒子数は保存しない！）ことの症状だったのである。