相似変換の展開公式

この公式の読み方と使い所

相似変換の展開公式は $\mathrm{e}^{\hat A}\hat B\mathrm{e}^{-\hat A}=\hat B+\left[\hat A,\,\hat B\right]+\frac{1}{2!}\left[\hat A,\,\left[\hat A,\,\hat B\right]\right]+\cdots$ である。左辺 $\mathrm{e}^{\hat A}\hat B\mathrm{e}^{-\hat A}$ は「変換 $\mathrm{e}^{\hat A}$ で $\hat B$ を着替えさせたもの」（相似変換）。右辺は「その着替えの効果は、交換子を次々に取ることで尽くされる」と読む。とくに交換子が途中で閉じる（定数や既知の演算子になる）と級数が厳密に打ち切れて有限和になる——これが実用上の急所である。実例：（i）並進 $\left[\hat p,\,\hat x\right]=-\mathrm{i}\hbar$（定数）$\Rightarrow$ 1次で打ち切れて $\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}\hat x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}=\hat x+a$（第2章の並進演算子で使う）。（ii）回転 $\left[\hat S_i,\,\hat S_j\right]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}\hat S_k$（代数が閉じる）$\Rightarrow$ 級数が $\cos,\sin$ にまとまりスピン回転公式になる（第4部『スピンと角運動量合成』の第1章）。（iii）Heisenberg 描像 $\hat A_H=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ の時間微分がこの構造そのもの。