◆応用：コヒーレント状態——CBH 公式の主戦場

量子力学入門　第2部 第1章 §2.1.3　★ 発展。レーザー光・最小不確定状態の背景

CBH・Glauber 公式の「使い所」として予告したコヒーレント状態を、ここで本格的に構成する。調和振動子（$\hat a,\hat a^\dagger$、$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$；第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1）の状態のうち、最も古典的な振動に近い状態は何か——答えがコヒーレント状態であり、レーザー光の量子状態そのものである。

定義と構成.

消滅演算子の固有状態として定義する：

$$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle \qquad(\alpha\in\mathbb C).$$

（$\hat a$ は非エルミートなので固有値が複素数でよく、固有状態が存在すること自体が非自明である。）Fock 基底で展開して漸化式を解くと

$$| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,| n \rangle$$

——光子数は平均 $\bar n=|\alpha|^2$ の Poisson 分布に従う。より構造的には、変位演算子

$$\hat D(\alpha):=\mathrm{e}^{\alpha\hat a^\dagger-\alpha^*\hat a}$$

で $| \alpha \rangle =\hat D(\alpha)| 0 \rangle$ と書ける。ここで Glauber の公式（$\left[\hat A,\,\hat B\right]$ が $\hat A,\hat B$ と可換なとき $\mathrm{e}^{\hat A}\mathrm{e}^{\hat B}=\mathrm{e}^{\hat A+\hat B}\mathrm{e}^{\left[\hat A,\,\hat B\right]/2}$。§1.2）が本領を発揮する：$\left[\alpha\hat a^\dagger,\,-\alpha^*\hat a\right]=|\alpha|^2$ は c 数なので

$$\hat D(\alpha)=\mathrm{e}^{-|\alpha|^2/2}\,\mathrm{e}^{\alpha\hat a^\dagger}\,\mathrm{e}^{-\alpha^*\hat a}$$

と厳密に分解でき、$\mathrm{e}^{-\alpha^*\hat a}| 0 \rangle =| 0 \rangle$ から上の展開が1行で再導出される。相似変換の展開公式（§1.1）からは $\hat D^\dagger\hat a\hat D=\hat a+\alpha$——$\hat D$ は位相空間の平行移動である（真空をずらした状態、という絵）。

なぜ「最も古典的」か.

3つの性質が同時に成り立つ（いずれも数値的に検証済み）：

• 最小不確定性：$\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ を任意の $\alpha$ で飽和する（真空と同じ形のガウス波束が、中心だけずれたもの）。
• 古典軌道をなぞる：時間発展は $| \alpha(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}| \alpha_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \rangle$——コヒーレント状態はコヒーレント状態のまま、複素平面上の $\alpha$ が古典位相空間の点として円運動する。$\langle \hat x \rangle (t)=\sqrt{2\hbar/m\omega}\,|\alpha|\cos\omega t$ は古典解と厳密に一致し、波束は永遠に崩れない（調和振動子の等間隔スペクトルの賜物）。
• レーザー光の状態：理想的なレーザーの出す光の量子状態はコヒーレント状態であり、光子数の Poisson ゆらぎ（ショットノイズ $\Delta n=\sqrt{\bar n}$）はその直接の帰結。ゆらぎをさらに片側だけ絞ったスクイーズド状態（$\hat a,\hat a^\dagger$ の2次の指数＝第7部『半古典近似WKB』のスケール正準変換の量子版）は、重力波検出器 LIGO の感度向上に実戦投入されている。

コヒーレント状態どうしは直交しない（$|\langle \beta | \alpha \rangle |^2=\mathrm{e}^{-|\alpha-\beta|^2}$）が完全系をなす（過剰完全系）——「位相空間の各点に1つずつ置かれた、量子力学が許す最小の点」の集まりであり、第7部『半古典近似WKB』の「面積 $h$ に1状態」の実装例にもなっている。