一般定理：対称性 $\Longleftrightarrow$ 保存量

量子力学入門　第2部 第2章 §2.2.1　★★ 量子版 Noether。$\left[\hat H,\,\hat G\right]=0\iff\hat G$ 保存

対称性があると何が嬉しいのか。線形代数の一般論——可換な演算子は同時固有基底をもつ——がここでの作業原理である。ポテンシャルの対称性（反転・並進）を表すユニタリ演算子 $\hat U$ が $\left[\hat H,\,\hat U\right]=0$ を満たせば、$\hat H$ の固有状態を $\hat U$ の固有値でラベルできる。このラベル（パリティ $\pm1$、結晶運動量 $k$）が保存量であり、問題を対称性のセクターごとに分割して劇的に簡単化する。

個々の対称性（反転・並進）に入る前に、すべてを支配する一般定理を先に立てておく。以下の各節は、この定理の実例として読むことができる。

まず「保存量」の意味を確認する。Heisenberg 方程式（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.3）

$$\frac{\mathrm{d}\hat A}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat A\right]$$

より、時間に陽に依存しない演算子 $\hat A$ について

$$\left[\hat A,\,\hat H\right]=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =0\ \ (\text{任意の状態で})$$

——$\hat H$ と可換な観測量は保存する。さらに、可換なら同時固有基底が取れ、$\hat A$ の固有値は時間発展で変わらない「良い量子数」になる。

次に「対称性」を演算子の言葉にする。連続パラメータ $c\in\mathbb R$ をもつユニタリ変換の族を、エルミートな生成子 $\hat G$ を使って

$$\hat U(c)=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}c\,\hat G\Bigr)$$

と書く（並進 $\hat T(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ はまさにこの形で $\hat G=\hat p$）。系がこの変換で対称であるとは、ハミルトニアンが変換で不変、すなわち

$$\hat U^\dagger(c)\,\hat H\,\hat U(c)=\hat H\qquad(\forall c)$$

が成り立つことをいう。$c$ が微小のとき $\hat U\simeq\hat 1-\frac{\mathrm{i} c}{\hbar}\hat G$ を代入して展開すると

$$\hat U^\dagger\hat H\hat U =\hat H-\frac{\mathrm{i} c}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat G\right]+O(c^2)$$

（1次の項は $\frac{\mathrm{i} c}{\hbar}\hat G\hat H-\frac{\mathrm{i} c}{\hbar}\hat H\hat G$ をまとめたもの）。よって全 $c$ での不変性は1次の係数の消滅と同値であり（逆に $\left[\hat H,\,\hat G\right]=0$ なら $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} c\hat G/\hbar}$ は $\hat G$ の関数だから全次数で可換）、次を得る。

代表的な対応をまとめる：

時間並進の行は「$\left[\hat H,\,\hat H\right]=0$ は自明」ゆえ、孤立系ではエネルギーが必ず保存することを述べている。この定理は解析力学の Noether の定理（連続対称性1つにつき保存量1つ）の量子力学版であり、古典で「Poisson 括弧」が担った役割を交換子がそっくり引き継いでいる。

なお、本章で最初に扱うパリティは $c$ で連続につながる変換ではない（離散対称性）が、「$\hat H$ と可換なユニタリの固有値でスペクトルを分類する」という使い方は同じである——保存量が連続変換の生成子（エルミート）から、変換そのもの（ユニタリかつここではエルミート）に代わるだけである。

◆解析力学との対応：Poisson 括弧と Noether の定理

★　発展。正準量子化 $\{f,g\}\to\left[\hat f,\,\hat g\right]/\mathrm{i}\hbar$ の背景

上の定理が「量子版 Noether」であることを、解析力学の側から少し丁寧に見ておく（解析力学そのものの体系的な整備——最小作用・正準方程式・Hamilton–Jacobi——は 第7部『半古典近似WKB』の第2章にまとめたので、あやふやな場合はそちらを先に読むとよい）。

古典力学の Hamilton 形式では、状態は位相空間の点 $(x,p)$ で、任意の物理量 $f(x,p)$ の時間発展はPoisson 括弧

$$\{f,g\}:=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial x}$$

を使って

$$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\},\qquad\{x,p\}=1$$

と書ける。この2行を本節の量子力学の2行

$$\frac{\mathrm{d}\hat A}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat A\right]=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A,\,\hat H\right],\qquad \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$$

と並べると、対応

$$\boxed{\ \{f,g\}\quad\longleftrightarrow\quad\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat f,\,\hat g\right]\ }$$

が浮かび上がる（Dirac の対応原理；「Poisson 括弧を $\left[\cdot,\,\cdot\right]/\mathrm{i}\hbar$ に読み替えよ」が正準量子化の処方箋である）。この辞書のもとで

$$\text{古典：}\ \{G,H\}=0\ \Longleftrightarrow\ G\ \text{保存} \qquad\longleftrightarrow\qquad \text{量子：}\ \left[\hat G,\,\hat H\right]=0\ \Longleftrightarrow\ \hat G\ \text{保存}$$

——本節の定理は、古典力学で Noether の定理（連続対称性1つにつき保存量1つ：並進不変 $\Rightarrow$ 運動量保存、回転不変 $\Rightarrow$ 角運動量保存、時間並進不変 $\Rightarrow$ エネルギー保存）として知られていた構造の、忠実な量子版である。しかも量子側の証明（微小展開1行）は古典側より簡単ですらある：古典では「変換で作用が不変 $\Rightarrow$ Euler–Lagrange 方程式に沿って保存流が組める」という変分計算を要するのに対し、量子では対称性・保存則・生成子がすべて同じ交換子 $\left[\hat H,\,\hat G\right]$ に畳み込まれているからである。

対応がずれる点も一つ注意しておく。Poisson 括弧の量子化には演算子の順序の曖昧さが残る（$xp$ を $\hat x\hat p$ とするか $\hat p\hat x$ とするか等；差は $O(\hbar)$）。$\hat x,\hat p$ の1次・2次の組合せでは問題にならないが、一般には「古典論から量子論は一意に決まらない」——量子論の方が根源的で、古典力学はその $\hbar\to0$ の影（第7部『半古典近似WKB』の第1章）である、という視点をもっておくとよい。