Kronig–Penney 模型：バンドとギャップ

第2章のまとめ

• 一般定理：連続対称性 $\hat U(c)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} c\hat G/\hbar}$ について、$\hat U^\dagger\hat H\hat U=\hat H\iff\left[\hat H,\,\hat G\right]=0\iff\hat G$ 保存（量子版 Noether）。並進 $\leftrightarrow\hat p$、回転 $\leftrightarrow\hat{\bm{L}}$、時間並進 $\leftrightarrow\hat H$。
• 古典対応：$\{f,g\}\leftrightarrow\left[\hat f,\,\hat g\right]/\mathrm{i}\hbar$（Dirac）。$\mathrm{d} f/\mathrm{d} t=\{f,H\}$ と Heisenberg 方程式、$\{x,p\}=1$ と $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ が同型——正準量子化の処方箋。
• パリティ（離散対称性）：$\hat R^2=\hat 1$、固有値 $\pm1$。対称ポテンシャルの固有関数は偶・奇に分類され、選択則（Stark 効果）の根拠になる。
• Bloch の定理：$V(x+a)=V(x)$ なら $\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}u(x)$（$u$ 周期的）。結晶運動量 $k$ は $\hat T(a)$ の固有値ラベルで、Brillouin ゾーン幅 $2\pi/a$、周期境界で $N$ 個に量子化。
• Kronig–Penney：$\cos ka=\cos qa+v\sin(qa)/qa$ の左辺 $|\cdot|\le1$ がバンドとギャップを生む。$v\to0$ で自由粒子、$v\to\infty$ で孤立井戸——バンド＝井戸準位のトンネル結合による広がり。