曲がった座標系での微分：基底ベクトルが動く

量子力学入門　第3部 第1章 §3.1.1　★ ベクトル解析の道具立て（角運動量表示の下ごしらえ）

中心力問題（次章の水素原子）を解く鍵は、角運動量 $\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ を極座標で書き直すと動径 $r$ を一切含まず、角度 $(\theta,\phi)$ の微分だけになるという事実である。これにより Schrödinger 方程式が動径と角度に変数分離し、角度部分は球面調和関数として一度解けば全ての中心力に使い回せる。極座標の基底ベクトル $\bm{e}_r,\bm{e}_\theta,\bm{e}_\phi$ は場所に依存する（位置を変えると向きが回る）ため、微分との順序に注意しながら計算する。

本章の目標は2つ：(i) 角運動量演算子 $\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ を極座標で書き下し、それが角度だけに作用することを見ること、(ii) 交換関係の代数を確立し、「中心力の問題は角度部分を球面調和関数に任せて動径だけ解けばよい」という分業の根拠を与えることである。計算は地道だが、得られる公式は水素原子（次章）・散乱理論（第11部）・分子の回転など、球対称性のあるすべての問題で使い回される。

★　極座標の div・rot（スケール因子の確認）