角運動量演算子の極座標表示

公式：角運動量の極座標表示

$$\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial\phi},\qquad \hat{\bm{L}}^2=-\hbar^2\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\Bigr]$$

どちらも$r$ を含まない（角度のみの演算子）。したがって (i) $\hat{\bm{L}}$ は動径方向の任意の関数と可換、(ii) $\hat L_z$ は「$z$ 軸まわりの回転の生成子 $-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\phi$」という第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の一般論の具体形、(iii) 固有値問題 $\hat{\bm{L}}^2Y=\hbar^2\ell(\ell+1)Y$、$\hat L_zY=\hbar mY$ の解（球面調和関数 $Y_{\ell m}$）はポテンシャルによらず一度だけ解けばよい。