角運動量の代数

定理：角運動量の交換関係

$$\hat{\bm{L}}\times\hat{\bm{L}}=\mathrm{i}\hbar\,\hat{\bm{L}} \quad\bigl(\Longleftrightarrow\ \left[\hat L_\alpha,\,\hat L_\beta\right]=\mathrm{i}\hbar\,\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat L_\gamma\bigr), \qquad \left[\hat{\bm{L}}^2,\,\hat L_\alpha\right]=0.$$

この代数だけから（微分表示を一切使わずに）$| \ell,m \rangle$ のラベル・$\ell$ が半整数まで許されること・昇降演算子 $\hat L_\pm$ の全構造が従う（第4部『スピンと角運動量合成』の第3章の一般論）。ベクトル演算子で外積が自分自身に比例して返ってくる——古典ベクトルなら $\bm{L}\times\bm{L}=0$ なので、右辺の $\mathrm{i}\hbar$ は純粋に量子的な構造である。