無次元化と漸近形の抽出

量子力学入門　第3部 第2章 §3.2.1　★★ 無次元化＋両端漸近形の抽出（解法の第1・2段）

本章はこの部の山場である。Coulomb ポテンシャル $V(r)=-Ze^2/r$ 中の電子について、動径方程式を無次元化 → 漸近形の抽出 → 級数解 → 打ち切り条件という王道の手順で厳密に解き、有名な $E_n\propto-1/n^2$ と縮退度 $n^2$ を導く。この4段の手順は水素専用ではなく、「微分方程式から離散スペクトルが出る」典型パターンとして他の問題（調和振動子の解析解法など）にも通用する。出発点の動径方程式は第1章で導いた分離形（Hamiltonian＝動径＋遠心力項 $\hbar^2\ell(\ell+1)/2\mu r^2$＋$V(r)$）そのものであり、$u_\ell:=rR_\ell$ と置けば1次元型の方程式になる（境界条件は原点で $u_\ell(0)=0$——$R$ が原点で発散しないための条件——と無限遠での規格化可能性）。

★★　$\rho\to0$: $\rho^{\ell+1}$、$\rho\to\infty$: $\mathrm{e}^{-\rho/2}$ の抽出

★★　因子を括り出し Laguerre 型方程式へ