スペクトル・縮退・原子の大きさ

公式：水素型原子のスペクトル

$$E_n=-\frac{Z^2e^2}{2a_0}\,\frac{1}{n^2}=-13.6\,\mathrm{eV}\times\frac{Z^2}{n^2}, \qquad a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e^2}\simeq0.529\,\text{\AA}, \qquad n=1,2,3,\dots$$

（Gauss 単位系；$a_0$ は Bohr 半径＝原子の大きさの唯一のスケール）。主量子数の解剖：$n=n_r+\ell+1$（$n_r$：級数の打ち切り位置＝動径方向の節の数）。同じ $n$ に $\ell=0,1,\dots,n-1$、各 $\ell$ に $m$ が $2\ell+1$ 個で、縮退度は $\sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1)=n^2$（スピン込み $2n^2$——周期表の周期 2, 8, 18, …の起源）。$m$ 縮退は回転対称性の帰結だが、$\ell$ 縮退は Coulomb だけの偶然縮退（Runge–Lenz ベクトルの隠れた対称性）で、$1/r$ からずれた実際の多電子原子では解けて「$s$ 軌道が $p$ 軌道より下がる」——化学の軌道エネルギー順位の出発点である。