◆発展：Runge–Lenz ベクトル——$\ell$ 縮退の正体

量子力学入門　第3部 第2章 §3.2.4　★ 発展。$\ell$ 縮退の裏の隠れた対称性 SO(4)

「$\ell$ 縮退は Coulomb 特有の偶然縮退」と述べたが、量子力学に偶然はない——縮退の裏には必ず対称性がある（第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の一般定理）。Coulomb 問題の隠れた保存量が Runge–Lenz ベクトル

$$\hat{\bm{A}}=\frac{1}{2m}\bigl(\hat{\bm{p}}\times\hat{\bm{L}}-\hat{\bm{L}}\times\hat{\bm{p}}\bigr)-k\,\frac{\hat{\bm{r}}}{r} \qquad\Bigl(k=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr)$$

である（古典版 $\bm{A}=\bm{p}\times\bm{L}/m-k\hat{\bm{r}}$ は楕円軌道の長軸方向を指す定ベクトル——Kepler 軌道に沿って成分が8桁の精度で一定であることを数値積分で確認済み。量子版の対称化 $\bm{p}\times\bm{L}\to\frac12(\bm{p}\times\bm{L}-\bm{L}\times\bm{p})$ はエルミート性のため）。地道な交換子計算で

$$\left[\hat H,\,\hat{\bm{A}}\right]=0$$

が示せる——ただし$V\propto1/r$ のときに限る。「軌道が閉じて歳差しない」（Bertrand の定理で $1/r$ と $r^2$ だけの特権）ことの保存則版であり、$1/r$ から少しでもずれると $\bm{A}$ は保存をやめ、近日点が移動し、縮退が解ける——水星の近日点移動（一般相対論）も多電子原子の $\ell$ 分裂（遮蔽）も、同じ「$\bm{A}$ の死」の現れである。

保存量が増えれば縮退が増える、の具体化：$\hat{\bm{L}}$ と $\hat{\bm{A}}$ を合わせた交換子代数は、束縛状態（$E<0$）のセクターで4次元回転群 $\mathrm{SO}(4)$ の代数に閉じる。$\mathrm{SO}(3)$（$m$ 縮退を説明）より大きいこの対称性が $\ell$ をまたぐ縮退 $n^2$ を説明し、さらに代数だけからスペクトル $E_n\propto-1/n^2$ を微分方程式を解かずに導けることが知られている（Pauli、1926——Schrödinger の解より先である）。「解ける問題には必ず余分の対称性が隠れている」——本章の級数解法の裏で働いていた仕掛けの種明かしである。