回転の生成子と一価性による量子化

定理：軌道角運動量の量子化は波動関数の一価性から

$z$ 軸対称な系の同時固有状態 $\psi\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell_z\phi/\hbar}$ に対し、1周して同じ点に戻ったとき波動関数が同じ値をとる（一価性）ことを課すと

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell_z\cdot2\pi/\hbar}=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ \ell_z=\hbar m,\quad m\in\mathbb Z\ }$$

——軌道角運動量が整数に限られる理由は「空間の1周＝恒等」という位相の整合条件である。スピンが半整数を取れるのは、スピンが空間の関数ではない（波動関数の一価性の縛りを受けない内部自由度である）ため——第4部『スピンと角運動量合成』の第1章の $2\pi$ 回転で $-1$ が付く話と表裏一体である。

第3章のまとめ

• 円筒座標：$\nabla^2=\frac1r\partial_r(r\partial_r)+\frac{1}{r^2}\partial_\phi^2+\partial_z^2$、$\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\partial_\phi$。
• 波動関数の一価性（$\phi\to\phi+2\pi$ で同じ値）が $\ell_z=\hbar m$（$m$ 整数）を強制する——位相の整合条件としての量子化。スピンの半整数は内部自由度ゆえ別枠。
• この座標系は磁場中の問題（Landau 準位・AB 効果、第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』）の標準舞台になる。