スピン回転演算子

量子力学入門　第4部 第1章 §4.1.1　★★★ 回転演算子 $\exp(-\mathrm{i}\theta\bm{n}\cdot\hat{\bm{s}}/\hbar)$ と Pauli：スピン計算の中心

第2部『対称性と結晶バンド』の第1章で学んだ CBH 公式が、スピンで最も美しく閉じる場面から始める。回転演算子 $\hat U(\bm{n},\theta)=\exp(-\mathrm{i}\theta\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{s}}/\hbar)$ が「演算子ベクトル $\hat{\bm{s}}$ を本当に空間回転させる」ことを示す——第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1 で予告した「Pauli 行列に $x,y,z$ の名が付く理由」の完全版である。

最小限の復習（自己完結のために）.

スピン $\tfrac12$ の状態空間は2次元で、$\hat s_z$ の固有状態を $| \uparrow \rangle ,| \downarrow \rangle$（固有値 $\pm\hbar/2$）と書く。スピン演算子は Pauli 行列

$$\hat\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \hat\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\ \mathrm{i}&0\end{pmatrix},\quad \hat\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

を使って $\hat{\bm{s}}=\frac\hbar2\hat{\bm{\sigma}}$ と表され、基本関係式は $\hat\sigma_i\hat\sigma_j=\delta_{ij}\hat1+\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}\hat\sigma_k$（交換関係 $\left[\hat\sigma_i,\,\hat\sigma_j\right]=2\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}\hat\sigma_k$ と反交換関係を同時に含む）。一般の純粋状態は Bloch 球の点 $(\theta,\varphi)$ で

$$| \psi(\theta,\varphi) \rangle =\cos\frac\theta2| \uparrow \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin\frac\theta2| \downarrow \rangle$$

とパラメータ化される（図 1.1；導出は第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1、本章の後半で回転側から再導出する）。本章で必要な前提はこれだけである。

図 1.1：Bloch 球。純粋状態は球面上の点 $(\theta,\varphi)$ と1対1に対応する。北極が $| \uparrow \rangle$、南極が $| \downarrow \rangle$。第10部『開いた量子系と量子情報』の第1章では混合状態が球の内部を埋めることを見る。