Bloch 球の時間発展：歳差運動

量子力学入門　第4部 第1章 §4.1.2　★★ スピン歳差・Larmor 周波数。Heisenberg 描像の典型例

回転演算子の主戦場は時間発展である。$z$ 方向の磁場中のスピンのハミルトニアン

$$\hat H=\frac{\hbar\omega}{2}\hat\sigma_z$$

（$\omega$：Larmor 振動数）のもとで、Bloch ベクトルがどう動くかを Heisenberg 描像で追う。Heisenberg 方程式 $\mathrm{d}\hat A/\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat A\right]$ に Pauli 行列の交換関係 $\left[\hat\sigma_i,\,\hat\sigma_j\right]=2\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}\hat\sigma_k$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d}\hat\sigma_x}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}\omega}{2}\left[\hat\sigma_z,\,\hat\sigma_x\right]=-\omega\hat\sigma_y,\qquad \frac{\mathrm{d}\hat\sigma_y}{\mathrm{d} t}=+\omega\hat\sigma_x,\qquad \frac{\mathrm{d}\hat\sigma_z}{\mathrm{d} t}=0.$$

期待値 $a_i:=\langle \hat\sigma_i \rangle$ をとれば（Heisenberg 描像では状態が動かないので期待値の方程式は同形）

$$a_x(t)=a_x(0)\cos\omega t-a_y(0)\sin\omega t,\qquad a_y(t)=a_x(0)\sin\omega t+a_y(0)\cos\omega t,\qquad a_z(t)=a_z(0),$$

まとめて

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\bm{a}}{\mathrm{d} t}=\omega\,\bm{e}_z\times\bm{a}\ }$$

——Bloch ベクトル（図 1.1）は $z$ 軸のまわりを角速度 $\omega$ で歳差運動（precession）する。これは磁場中の古典的なコマ（角運動量ベクトル）の運動方程式 $\mathrm{d}\bm{L}/\mathrm{d} t=\bm{\mu}\times\bm{B}\propto\bm{B}\times\bm{L}$ と完全に同じ形であり、「スピンは本当に角運動量である」ことの力学的な示唆を与える。

状態ベクトルの側でも確認できる。Bloch 球上の点 $(\theta,\varphi_0)$ に対応する状態 $\cos\frac\theta2| \uparrow \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_0}\sin\frac\theta2| \downarrow \rangle$ に $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t\hat\sigma_z/2}$ を作用させると

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t\hat\sigma_z/2} \begin{pmatrix}\cos\frac\theta2\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_0}\sin\frac\theta2\end{pmatrix} =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2} \begin{pmatrix}\cos\frac\theta2\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_0+\omega t)}\sin\frac\theta2\end{pmatrix}$$

——観測にかからない全体位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}$ を除けば、$\varphi_0\to\varphi_0+\omega t$ となり、Bloch 球上の点が等速で経度方向に回る。時間発展とは「ハミルトニアンの軸まわりの回転が回り続けること」であり、第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の Rabi 振動（回転系に移ってから歳差を読む）・磁気共鳴はすべてこの描像の延長線上にある。