発展：$2\pi$ 回転の $-1$ と SU(2)/SO(3)

量子力学入門　第4部 第1章 §4.1.3　★ 背景：2重被覆と $2\pi$ 回転で符号が反転する理由

回転角の式 $\hat U(\bm{n},\theta)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\bm{n}\cdot\hat{\bm{s}}/\hbar}$ に $\theta=2\pi$ を入れてみる。スピン $\tfrac12$ では $\bm{n}\cdot\hat{\bm{s}}$ の固有値が $\pm\hbar/2$ だから

$$\hat U(\bm{n},2\pi)=\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}\pi}=-\hat 1$$

——一回転しても元に戻らず、符号 $-1$ が付く（$4\pi$ 回転で初めて恒等）。一般に、角運動量 $j$ が整数なら $2\pi$ 回転は $+\hat1$、半整数なら $-\hat1$ である。「たかが全体位相」と思うかもしれないが、干渉計の片方の腕だけを $2\pi$ 回転させれば相対位相 $-1$ として観測できる——中性子干渉実験（1975）で実際に確認された物理的な符号である。

この $\pm$ の起源は群論の言葉で明快になる。3次元の回転の集合は

$$\mathrm{SO}(3)=\{R\in\mathbb R^{3\times3}\mid R^{\mathsf T}R=1,\ \det R=1\}$$

で、整数 $j$ の表現はこの群の表現になっている。一方スピン $\tfrac12$ を回すユニタリの集合は

$$\mathrm{SU}(2)=\{\hat U\in\mathbb C^{2\times2}\mid \hat U^\dagger\hat U=1,\ \det\hat U=1\} =\bigl\{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\bm{n}\cdot\hat{\bm{s}}/\hbar}\bigr\}$$

である。回転演算子が演算子ベクトル $\hat{\bm{s}}$ を $\bm{n}$ 軸まわりに角 $\theta$ 回すという結果（$\hat U\,\bm{m}\cdot\hat{\bm{s}}\,\hat U^\dagger=\bm{k}\cdot\hat{\bm{s}}$、$\bm{k}$ は $\bm{m}$ を回した単位ベクトル）は「$\hat U(\bm{n},\theta)$ が空間回転 $R(\bm{n},\theta)$ を引き起こす」こと、すなわち対応 $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ を与えるが、この対応は2対1である：$\hat U$ と $-\hat U$ は同じ空間回転を与える（$\hat U\,\bm{m}\cdot\hat{\bm{s}}\,\hat U^\dagger$ は符号に依らない）。つまり

$$\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SU}(2)/\mathbb Z_2$$

——SU(2) は SO(3) の「2倍大きい」被覆群であり、$2\pi$ 回転の $-1$ はまさにこの2倍分の巻き数を検出している。半整数スピンとは「SO(3) ではなく SU(2) の表現でしか実現できない自由度」のことであり、電子スピンが剛体の自転（＝SO(3) の運動）では絶対に説明できない点粒子の内部自由度であることの、最も深い理由がここにある（スピンの回転群論的な位置づけは第9部『同種粒子と第二量子化』の第0章§0.1 の議論を補完する）。