模型と力ずくの対角化

量子力学入門　第4部 第2章 §4.2.1　★ 動機づけ：4次元 Hamiltonian を素朴に対角化して困難を体感する導入

2スピン系の固有値問題を、「対称性で基底を先に分類してから対角化する」という実戦手筋で解く。第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の「可換な演算子の同時固有基底」、第6部『摂動論と変分法』の第1章の縮退摂動論（縮退空間内で $\hat V$ を対角化して正しい基底を選ぶ）と同じ思想であり、多体問題の数値計算でも常套手段である。舞台は横磁場 Ising 模型

$$\hat H=-J\hat\sigma_1^z\hat\sigma_2^z-h(\hat\sigma_1^x+\hat\sigma_2^x)\qquad(J,h>0)$$

——$J$ 項はスピンを $z$ 方向に揃えたがり（強磁性）、$h$ 項は各スピンを $x$ 方向に倒したがる。両者は可換でない（$\sigma^z$ と $\sigma^x$ の競合）ので、量子的な「せめぎ合い」が基底状態を決める。