対称性で分割統治する

定理：対称性によるブロック対角化（分割統治） ★★

$\left[\hat H,\,\hat F\right]=0$ を満たすユニタリ（またはエルミート）な $\hat F$ があるとき、$\hat F$ の固有値 $f$ ごとの固有空間 $\mathcal H_f$ は $\hat H$ で不変である：$| \psi \rangle \in\mathcal H_f$ なら $\hat F(\hat H| \psi \rangle )=\hat H\hat F| \psi \rangle =f(\hat H| \psi \rangle )$。したがって $\hat F$ の固有基底で $\hat H$ はブロック対角になり、対角化は各ブロック内で独立に行えばよい。本章では $\mathbb Z_2$ 対称性 $\hat F=\hat\sigma_1^x\hat\sigma_2^x$（$f=\pm1$）が $4\times4$ を $2\times2$ 2つに割った。多体系では $2^N\times2^N$ がセクターに割れるかどうかが数値計算の実行可能性を決めるため、この手筋は現代の数値物理の第一手でもある（磁化 $S^z_{\rm tot}$・運動量・パリティ等、使える対称性はすべて使う）。