設定と考え方

定石：摂動級数とは、厳密固有値を結合定数のまわりで Taylor 展開したものである ★★★

摂動論を「近似の技法」としてだけ覚えると、どこまで信用してよいかの判断ができない。次の一文が判断基準を与える。

位置づけ。$\hat H(\lambda)=\hat H_0+\lambda\hat V$ の第 $n$ 固有値を $\lambda$ の関数 $E_n(\lambda)$ と見ると、摂動級数の $k$ 次の係数はその $\lambda=0$ における $k$ 階微分係数にほかならない：

$$\boxed{\ E_n^{(k)}=\frac{1}{k!}\left.\frac{\mathrm{d}^kE_n}{\mathrm{d}\lambda^k}\right|_{\lambda=0}\ }$$

つまり摂動級数は、厳密固有値 $E_n(\lambda)$ の $\lambda=0$ まわりの Taylor 級数そのものである（1次の係数が Hellmann–Feynman の定理 $\mathrm{d} E/\mathrm{d}\lambda=\langle \partial\hat H/\partial\lambda \rangle =V_{nn}$ で $E_n^{(1)}$ に一致することが、この見方の最も分かりやすい確認になる。§ 発展参照）。

この見方の使いみちは3つある。第一に、摂動論の妥当性は $E_n(\lambda)$ の解析性の問題に翻訳される。Taylor 級数の収束半径は、複素 $\lambda$ 平面で $E_n(\lambda)$ が特異になる最も近い点までの距離で決まる。第二に、厳密解が手に入る系では厳密解を展開して摂動級数と突き合わせるという検算がそのまま使える（摂動計算の結果を確かめる標準的な方法である）。第三に、2準位系と調和振動子という見かけの違う2つの問題を、同じ「厳密固有値の Taylor 展開」という1つの枠で説明できる。

同じ枠で並ぶ3つの例（本章と § 発展で順に扱う）。

1. 2準位系（最も標準的な型）。$\hat H=\tfrac{\hbar\omega}{2}\hat\sigma_z+\lambda\hbar\varepsilon\hat\sigma_x$ の厳密固有値は $E_\pm(\lambda)=\pm\tfrac{\hbar}{2}\sqrt{\omega^2+4\lambda^2\varepsilon^2}$。平方根の分岐点は $\omega^2+4\lambda^2\varepsilon^2=0$、すなわち純虚数の $\lambda=\pm\mathrm{i}\,\omega/(2\varepsilon)$ にあるので、収束半径は $|\lambda|<\omega/(2\varepsilon)$ と有限で正。この特異点は「2つの準位が複素の結合定数で縮退する点」であり、収束を止めているのは準位の接近そのものである（実の $\lambda$ で見た収束の目安 $|V_{mn}|\ll|E_n^{(0)}-E_m^{(0)}|$ の正体がこれ）。
2. 調和振動子への $\hat x^2$ 摂動（非調和振動子の節で扱う）。$E_n(\beta)=\hbar\omega(n+\tfrac12)\sqrt{1+2\beta/m\omega^2}$ の分岐点は $\beta=-m\omega^2/2$、すなわちバネ定数がちょうど零になって束縛状態が消える点にある。収束半径は $|\beta|<m\omega^2/2$ でやはり有限。
3. 調和振動子への $\hat x^4$ 摂動（非調和振動子の節で扱う）。こちらは収束半径が零になり、級数は収束しない。$\lambda<0$ ではポテンシャルが遠方で下に発散して束縛状態が存在しないため、$\lambda=0$ を中心とするどんな小さな円も「固有値が存在しない領域」を含んでしまい、$E_n(\lambda)$ は $\lambda=0$ で解析的になれない。詳細と実務上の扱いは § 発展。

結論。「$\lambda$ が小さければ摂動級数は収束する」は成り立たない。摂動論を使ってよいかどうかは、収束するかではなく、打ち切ったときの誤差が要求精度より小さいかで判断する。