非調和振動子

量子力学入門　第6部 第1章 §6.1.3　★★★ $\hat x^4$ 摂動（非調和振動子）

調和振動子 $\hat H_0=\dfrac{\hat p^2}{2m}+\dfrac{m\omega^2}{2}\hat x^2$ に非調和項を加えた系で摂動論を練習する。昇降演算子（第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の第1章）

$$\hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger),\qquad \hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle ,\quad \hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}| n+1 \rangle$$

で行列要素を機械的に計算できるのが要点である。