縮退摂動論：正しい0次状態を選ぶ

量子力学入門　第6部 第1章 §6.1.4　★★★ 永年方程式・2準位摂動

非縮退の公式は分母 $E_n^{(0)}-E_m^{(0)}$ をもつ。準位が縮退している（同じ $E^{(0)}$ の状態が複数ある）と分母が零になり級数が破綻する。だがこれは物理の破綻ではなく、「どの0次状態から出発するか」を間違えていることの現れである。

何が起きているか。

縮退空間内では、固有状態の選び方に回転の自由度がある（どんな線形結合も $\hat H_0$ の固有状態）。摂動 $\hat V$ が入った瞬間、その自由度は消えて特定の線形結合だけが $\hat H$ の固有状態に連続的につながる。間違った基底から出発すると、摂動級数は「無限小の摂動で状態が有限に回る」ことを表現しようとして発散するのだ。

処方箋（永年方程式）。

縮退空間 $\{| a \rangle \}_{a=1}^{g}$（同じ $E^{(0)}$）の中で摂動を行列

$$V_{ab}=\langle a | \hat V | b \rangle$$

として書き、これを対角化する：

$$\det\bigl(V_{ab}-E^{(1)}\delta_{ab}\bigr)=0.$$

1. Step 1 縮退空間の基底 $\{| a \rangle \}$ で行列 $V_{ab}$ を作る。
2. Step 2 固有値問題を解く。固有値が1次のエネルギー補正 $E^{(1)}_\alpha$。
3. Step 3 固有ベクトルが正しい0次状態 $| \alpha^{(0)} \rangle =\sum_a c_a| a \rangle$。
4. Step 4 縮退が解けた後は、各 $| \alpha^{(0)} \rangle$ を出発点に非縮退の公式（2次以降）が使える。