スピンの磁気異方性

量子力学入門　第6部 第1章 §6.1.7　★★ 2準位・縮退摂動

スピン $j$ の系に一軸異方性と磁場が働く模型

$$\hat H_0=D\hat J_z^2\ (D>0),\qquad \hat V=\bm{B}\cdot\hat{\bm{J}},\quad \bm{B}=(B_x,B_y,B_z)$$

を考える（単分子磁石などのモデル）。$\hat H_0$ の固有状態は $| j,m \rangle$、固有値 $E_m^{(0)}=D\hbar^2m^2$：基底状態は $m=0$（$j$ 整数のとき非縮退）、励起準位は$\pm m$ の二重縮退をもつ。角運動量の昇降演算子

$$\hat J_\pm=\hat J_x\pm\mathrm{i}\hat J_y,\qquad \hat J_\pm| j,m \rangle =\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\,| j,m\pm1 \rangle$$

を用いる。$\hat J_x=\frac12(\hat J_++\hat J_-),\ \hat J_y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\hat J_+-\hat J_-)$ は $\Delta m=\pm1$ の選択則をもつ（非調和振動子の $\hat x$ と同じ役回り）。