発展：微細構造と漸近級数

定石：$\hat x^4$ 摂動級数は漸近級数（Bender–Wu）。次数を上げても精度は上がらない ★

以下 $\hbar=m=\omega=1$ とし、摂動を $\lambda\hat x^4$ と書く（非調和振動子の節の $\delta$ に対応する）。基底エネルギーの摂動級数を高次まで生成すると

$$E_0(\lambda)\sim\frac12+\frac34\lambda-\frac{21}{8}\lambda^2+\frac{333}{16}\lambda^3-\frac{30885}{128}\lambda^4+\frac{916731}{256}\lambda^5-\cdots$$

となる（係数は 検算スクリプト の Rayleigh–Schrödinger 再帰で12次まで生成し、独立に行列対角化した厳密値と突き合わせて確認した）。

係数の増大則（Bender–Wu）。$k$ 次の係数の大きさは

$$\bigl|E_0^{(k)}\bigr|\ \sim\ \frac{\sqrt6}{\pi^{3/2}}\,3^k\,\Gamma\!\left(k+\tfrac12\right)$$

で、階乗のオーダーで増える。どんなに小さい $\lambda>0$ を選んでも $3^k\Gamma(k+\tfrac12)\lambda^k$ はいずれ増大に転じるので、級数は必ず発散する。

最適打ち切りと到達可能な精度。第 $k$ 項の大きさ $3^k\Gamma(k+\tfrac12)\lambda^k$ が最小になる次数は

$$\boxed{\ k^*\simeq\frac{1}{3\lambda}\ }$$

で、そこで打ち切ったときの誤差は最小項の大きさ、すなわち $\mathrm{e}^{-1/(3\lambda)}$ 程度になる。これが $\lambda$ を固定したときに摂動論で到達できる精度の上限である。$k^*$ を超えて項を足すと、和は厳密値から離れていく。

数値で見る（$\lambda$ を固定して部分和を作り、行列対角化による厳密値と比べたもの。すべて 検算スクリプト で再現できる）。

$\lambda=0.05$ では、6次で打ち切ったときより12次まで足したときの方が誤差が9倍悪い。

$\lambda$ を大きくしてよいかという誤解。摂動論を「$\lambda$ が小さいほど良い近似」とだけ覚えていると、「そこそこ大きい $\lambda$ でも次数を上げれば追いつく」と考えてしまう。上の $k^*$ と精度限界 $\mathrm{e}^{-1/(3\lambda)}$ は逆のことを言っている。$\lambda$ を大きくすると最適打ち切り次数が下がり、同時に到達できる精度も指数関数的に悪化する。実際、

$$\lambda=0.3:\ E_0^{\rm 厳密}=0.6380,\quad\text{1次まで}=0.725,\quad\text{2次まで}=0.489$$

$$\lambda=1.0:\ E_0^{\rm 厳密}=0.8038,\quad\text{1次まで}=1.25,\quad\text{2次まで}=-1.375$$

で、$\lambda=1$ では2次まで足すと基底エネルギーが負という物理的にありえない値になる（$k^*\simeq0.33$、つまり1次すら最適打ち切りを超えている）。$\lambda$ が大きい領域は摂動論の外にあり、変分法（第2章）や数値対角化に切り替えるしかない。

発散級数から厳密値を取り出す道も存在する。$k!$ 的に増える係数を Borel 変換で割り戻し、Borel 平面で積分し直す Borel 総和がその代表で、$\hat x^4$ 振動子ではこの手続きが厳密固有値を再現することが知られている。「発散するから無意味」ではないことは押さえておくとよい。