変分原理

量子力学入門　第6部 第2章 §6.2.1　★★★ 変分原理。上界を与える

摂動論は「解ける系の近く」でしか使えない。出発点となる可解系が無い問題——多電子原子・分子・多体系——で威力を発揮するのが変分法である。原理は一行：どんな試行状態で計算したエネルギー期待値も、真の基底エネルギーを下回れない。この「片側からの評価」という性格が、変分法を単なる近似を超えた厳密な不等式の方法にしている。

これより実用処方が従う：パラメータ $b$ を含む試行関数 $\psi_b$ を用意し、$E(b)=\langle \psi_b | \hat H | \psi_b \rangle$ を $b$ について最小化すれば、

$$E_0\ \le\ \min_b E(b)$$

という厳密な上界が得られる。試行関数族が真の基底状態を含んでいれば等号、含んでいなくても「族の中で最良の近似」が自動的に選ばれる。

例題5.7.1–5.7.2 の2つの事実が変分法のすべてなので、本文の定理として掲げておく。