波長の空間変化が小さい極限

量子力学入門　第7部 第1章 §7.1.1　★★ WKB 波動関数の出発点となる有効条件

量子力学の答えはすべて波動関数に書かれている。それなのに、野球のボールや惑星は「軌道」を描いて運動しているように見える。量子力学が正しいなら、古典力学の軌道描像は量子力学のある極限として回収されなければならない。本章ではこの極限——古典極限——がどういう極限なのかを言葉にし、そこから系統的な近似法（WKB 法）を立ち上げる準備をする。

自由粒子の波動関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$ の波長は de Broglie 波長 $\lambda=2\pi\hbar/p$ である。ポテンシャル $V(x)$ の中では運動量が場所ごとに変わるから、「局所的な波長」$\lambda(x)=2\pi\hbar/p(x)$、$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ を考えたくなる。この描像が意味をもつのは、波長が1波長ぶん進む間にほとんど変わらないとき——すなわち $|\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d} x|\ll1$ のとき——である。このとき波動関数は局所的には平面波と見なせ、波面（等位相面）に直交する曲線の族——すなわち古典軌道——を描くことができる。

この事情は光学に完全な対応物をもつ。波動方程式に従う光も、波長が障害物や媒質の変化のスケールより十分短ければ「光線」として追跡できる（幾何光学）。そして幾何光学の基本原理であるFermat の原理（光は光学的距離を停留させる経路を通る）は、力学の最小作用の原理（粒子は作用 $S$ を停留させる経路を通る；次章で一から解説する）とちょうど対応する。つまり

$$\text{波動光学}\ \xrightarrow{\ \lambda\to0\ }\ \text{幾何光学} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{量子力学}\ \xrightarrow{\ \hbar\to0\ }\ \text{古典力学}$$

という辞書ができる。古典力学は「物質波の幾何光学」なのである。