経路積分から見る：停留位相

2026年10月15日1分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7部第1章古典極限：波が軌道に見えるとき

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第7部第1章 §7.1.2　★ 別角度からの動機づけ（発展）

この対応を最も鮮やかに見せるのが Feynman の経路積分である。始点から終点へ至る確率振幅は、あらゆる経路 $x(t)$ にわたる和

$\sum_{\text{経路}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x(t)]/\hbar},\qquad S[x(t)]=\int L\,\mathrm{d} t$

で与えられる（各経路の重みの大きさは同じで、位相だけが作用で決まる）。 $\hbar$ が作用の典型スケールに比べて小さければ、経路をわずかに変えただけで位相 $S/\hbar$ が激しく回り、隣り合う経路の寄与は打ち消し合う。生き残るのは位相が停留する経路、すなわち $\delta S=0$ を満たす古典軌道の近傍だけである（この描像の厳密な定式化と実際の計算は第8章で行う）。最小作用の原理は「干渉で消え残った道」として量子力学から導かれる——これが古典極限の力学的な中身である。

$\hbar\to0$ の正確な意味

$\hbar$ は定数（ $1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ ）だから、文字どおり $0$ に近づけることはできない。「 $\hbar\to0$ 」とは、系の特徴的な作用のスケール（エネルギー $\times$ 時間、あるいは運動量 $\times$ 長さ）に比べて $\hbar$ が十分小さいという無次元化された極限を指す。野球のボールでは $S/\hbar\sim10^{34}$ で完璧な古典、原子中の電子では $S/\hbar\sim1$ で完全な量子。そして $S/\hbar\gg1$ だが有限、という中間領域を系統的に扱う方法が、 $\hbar$ による展開＝半古典近似である。

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