Legendre 変換と Hamilton の正準方程式

量子力学入門　第7部 第2章 §7.2.2　★ 正準形式の準備（背景）

Lagrange 形式の変数は $(x,\dot x)$ だが、量子力学と直結するのは変数を $(x,p)$ に取り替えた Hamilton 形式である。まず正準運動量を

$$p:=\frac{\partial L}{\partial\dot x}$$

で定義し（$L=\frac{m\dot x^2}{2}-V$ なら $p=m\dot x$：普通の運動量。ただし磁場中では $p=m\dot x+qA$ とずれる——第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の第1章）、Hamiltonian を Legendre 変換

$$H(x,p):=p\,\dot x-L(x,\dot x)\Big|_{\dot x=\dot x(x,p)}$$

で定める（右辺の $\dot x$ は $p=\partial L/\partial\dot x$ を逆に解いて消去する）。$L=\frac{m\dot x^2}{2}-V$ なら

$$H=p\cdot\frac pm-\Bigl(\frac{p^2}{2m}-V\Bigr)=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$

——全エネルギーである。運動方程式がどうなるかは、$H$ の全微分を2通りに書けば読み取れる：

$$\mathrm{d} H=\dot x\,\mathrm{d} p+p\,\mathrm{d}\dot x-\frac{\partial L}{\partial x}\mathrm{d} x-\underbrace{\frac{\partial L}{\partial\dot x}}_{=p}\mathrm{d}\dot x =\dot x\,\mathrm{d} p-\dot p\,\mathrm{d} x$$

（$\mathrm{d}\dot x$ の項が Legendre 変換の仕掛けでちょうど相殺し、Euler–Lagrange (7.2.1) で $\partial L/\partial x=\dot p$ とした）。一方 $\mathrm{d} H=\frac{\partial H}{\partial x}\mathrm{d} x+\frac{\partial H}{\partial p}\mathrm{d} p$ だから、係数を比べて

$$\boxed{\ \dot x=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial x}\ } \qquad(\text{\textbf{正準方程式}})\tag{7.2.2}$$

2階微分方程式1本が、対称な1階連立2本になった。状態は $(x,p)$ 平面——位相空間——の1点で完全に指定され、運動はその点が描く流れになる。エネルギー保存はこの形式では1行である：

$$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H}{\partial x}\dot x+\frac{\partial H}{\partial p}\dot p =\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial x}=0.$$

ゆえに軌道は位相空間の等エネルギー面 $H(x,p)=E$ の上を流れる。1次元の束縛運動なら等エネルギー面は閉曲線——第5章で「その面積」が量子化の主役になる。なお「なぜ $p\dot x-L$ という形なのか」「この変換は何を保存しているのか」は次節（§7.2.3）で徹底的に解剖する。