作用変数と断熱不変量：$\oint p\,\mathrm{d} x$ はなぜ特別か

量子力学入門　第7部 第2章 §7.2.7　★★ Bohr–Sommerfeld 量子化条件の土台

1次元の束縛運動（位相空間の閉軌道）に対して、作用変数

$$J:=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} x\qquad(\text{閉軌道が囲む面積}/2\pi)$$

を定義する。これはエネルギー $E$ の関数であり、逆に $E=E(J)$ と見ると、運動の角振動数が

$$\omega=\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} J}$$

で与えられる（作用・角変数の一般論の帰結）。調和振動子で確かめると：楕円の面積は $2\pi E/\omega_0$（第5章例題5.1で計算する）だから $J=E/\omega_0$、よって $\mathrm{d} E/\mathrm{d} J=\omega_0$——確かに振動数が出る。

作用変数が特別なのは、次の性質による：

断熱不変性. 系のパラメータ（ばね定数・井戸の幅など）を、運動の周期より十分ゆっくり変化させるとき、エネルギー $E$ は変わるが、作用変数 $J$ はほとんど変わらない（変化がパラメータの変化率のあらゆるべきより小さい）。

直感的な例：振り子の糸をゆっくり短くすると、振動数 $\omega$ も振幅もエネルギーも変わるが、比 $E/\omega=J$ は一定に保たれる。

図 2.1：調和振動子の位相空間。量子化された軌道（$n=0,1,2,\dots$）は面積 $h$ ずつ離れた楕円になる（Bohr–Sommerfeld、第5章）。

この性質は前期量子論で決定的な役割を果たした。量子条件を課すべき量は何か？——ゆっくりした外的変化で値が飛べない量、すなわち断熱不変量でなければ、パラメータを少し動かしただけで「量子数が非整数になる」矛盾が起きる（Ehrenfest の断熱仮説）。1次元でその資格をもつのが $J$ であり、こうして

$$\oint p\,\mathrm{d} x=nh\qquad(\text{Bohr--Sommerfeld，1915頃})$$

が要請された。WKB 法（第5章）はこの条件を Schrödinger 方程式から導出し、しかも零点補正を付けて $\oint p\,\mathrm{d} x=(n+\tfrac12)h$ に精密化する。歴史の順序（量子条件が先、波動方程式が後）と論理の順序（波動方程式が先、量子条件は近似として従う）が逆転しているところに、前期量子論が「なぜあれほど当たったか」の答えがある——彼らは知らずに WKB の最下次を使っていたのである。なお断熱不変量の量子版が「ゆっくりした変化では量子数 $n$ が保存する」という量子断熱定理であり、第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第1章（Berry 位相）で主役になる。