位相関数の方程式

量子力学入門　第7部 第3章 §7.3.1　★★ $\hbar$ 展開の出発点

第1章の描像を、第2章で整えた解析力学の言葉を使って、1次元ハミルトニアン $\hat H=\hat p^2/2m+V(\hat x)$ の定常状態に対する具体的な近似法へ昇格させる。鍵は、波動関数を振幅と位相ではなく、複素の「作用」の指数関数として書くことである。

定常状態の波動関数を

$$\varphi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} S(x)/\hbar}$$

と置く（$S$ は複素数値でよい；$S$ の虚部が振幅の対数を担う）。Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}\varphi''+V\varphi=E\varphi$ に代入すると、$\varphi''=\bigl(\frac{\mathrm{i} S''}{\hbar}-\frac{(S')^2}{\hbar^2}\bigr)\varphi$ より

$$(S')^2-\mathrm{i}\hbar S''-2m\bigl(E-V(x)\bigr)=0.\tag{7.3.1}$$

これはまだ厳密な式である。注目すべきは、(7.3.1) に $S$ 自身は現れず $S',S''$ しか現れないこと、そして $\hbar$ が1次で掛かる項が一つだけあることだ。そこで $S$ を $\hbar$ のべきで

$$S=S_0+\frac{\hbar}{\mathrm{i}}S_1+\Bigl(\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\Bigr)^{\!2}S_2+\cdots$$

と展開し（因子 $\hbar/\mathrm{i}$ は後の式を実にするための慣習）、(7.3.1) に代入して $\hbar$ の次数ごとに整理する：

$$\begin{aligned}&\hbar^0:\quad (S_0')^2=2m\bigl(E-V(x)\bigr),\\ &\hbar^1:\quad 2S_0'S_1'+S_0''=0\ \ \Longleftrightarrow\ \ S_1'=-\frac{S_0''}{2S_0'},\\ &\hbar^2:\quad 2S_2'=-\frac{(S_1')^2+S_1''}{S_0'}.\end{aligned}$$