0次：Hamilton–Jacobi 方程式、1次：振幅

量子力学入門　第7部 第3章 §7.3.2　★★ WKB 波動関数 $\psi\sim p^{-1/2}\mathrm{e}^{\pm\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int p\,\mathrm{d} x}$ の導出

$0$次の式は、古典力学のHamilton–Jacobi 方程式（定常版、§7.2.6）にほかならない。$S_0$ とは Hamilton の特性関数 $W$ のことだったのである。局所運動量

$$p(x):=\sqrt{2m\bigl(E-V(x)\bigr)}$$

を導入すれば $S_0'=\pm p(x)$、すなわち

$$S_0(x)=\pm\int^x p(x')\,\mathrm{d} x'$$

（右向き・左向きの波に対応する複号）。$1$次の式は直ちに積分できて

$$S_1=-\tfrac12\ln p+\text{const.}$$

（$S_1'=-S_0''/2S_0'=-p'/2p$ を積分した；この積分は SymPy でも確認済み）。よって $\hbar$ の1次までで

$$\boxed{\ \varphi(x)=\frac{C_1}{\sqrt{p(x)}}\exp\Bigl(+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^x p\,\mathrm{d} x'\Bigr) +\frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^x p\,\mathrm{d} x'\Bigr)\ }\tag{7.3.2}$$

これが WKB 波動関数である（Wentzel–Kramers–Brillouin）。

振幅因子 $1/\sqrt p$ には明快な物理がある。定常的な流れでは、確率密度は粒子がその場所に滞在する時間に比例するはずで、滞在時間は速さ $v=p/m$ に反比例する。ゆえに $|\varphi|^2\propto1/p$——WKB の振幅は確率の流れの保存を1次で取り込んだものになっている。

$E<V(x)$ の（古典的に禁止された）領域では $p$ が純虚数になる。$\rho(x):=\sqrt{2m(V(x)-E)}$（実）を使って $p=\mathrm{i}\rho$ と書けば、(7.3.2) は

$$\varphi(x)=\frac{C_+}{\sqrt{\rho}}\exp\Bigl(+\frac{1}{\hbar}\int^x \rho\,\mathrm{d} x'\Bigr) +\frac{C_-}{\sqrt{\rho}}\exp\Bigl(-\frac{1}{\hbar}\int^x \rho\,\mathrm{d} x'\Bigr)$$

——振動の代わりに指数的な増大・減衰となる。トンネル効果（第6章）を担うのはこの解である。