有効条件と回帰点での破綻

量子力学入門　第7部 第3章 §7.3.3　★★ 適用限界。回帰点で破綻する典型論点

展開が意味をもつ条件は、1次の項が0次より十分小さいこと：$|S_0'|\gg\hbar|S_1'|$。$S_1'=-p'/2p$、$S_0'=\pm p$ を入れると

$$\hbar\Bigl|\frac{p'}{p^2}\Bigr|\ll1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\ \frac{1}{2\pi}\Bigl|\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d} x}\Bigr|\ll1\ } \qquad(\lambda=2\pi\hbar/p)$$

——第1章の直感「波長の空間変化が小さい」が、そのまま定量的な有効条件になる。

この条件が必ず破れる場所がある。$V(x)=E$ となる古典的回帰点（classical turning point）では $p\to0$、$\lambda\to\infty$ となり、WKB 解 (7.3.2) は $1/\sqrt p$ ごと発散してしまう。古典粒子が折り返す点は、波にとって「波長が定義できなくなる」点なのである。回帰点の両側では WKB が使えるから、問題は「回帰点をまたいで両側の WKB 解の係数をどう関係づけるか」に帰着する。それには回帰点近傍で Schrödinger 方程式を真面目に解いて橋渡しをするしかない——次章の主題である。