回帰点近傍の厳密解：線形化と Airy 方程式

量子力学入門　第7部 第4章 §7.4.1　★★ 接続の原理（線形ポテンシャル近似）

回帰点 $x=a$ の近くでは、ポテンシャルを線形化してよい：

$$V(x)\simeq E\mp F\,(x-a),\qquad F>0$$

（複号は「$-$」＝右側（$x>a$）が許容領域、「$+$」＝右側が禁止領域、の2通り）。このとき Schrödinger 方程式は

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\varphi''\mp F(x-a)\,\varphi=0$$

となり、無次元変数

$$z:=\Bigl(\frac{2mF}{\hbar^2}\Bigr)^{\!1/3}\times \begin{cases} -(x-a) & (\text{「}{-}\text{」型}) \\ +(x-a) & (\text{「}{+}\text{」型}) \end{cases}$$

を使うとどちらも

$$\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d} z^2}-z\,\varphi=0$$

——Airy 方程式に帰着する（$z>0$ が禁止側、$z<0$ が許容側になるように符号を選んだ）。回帰点の物理は、線形ポテンシャル中の厳密解というただ一つの普遍的な関数に集約される。