Airy 関数：定義・微分方程式・漸近形

量子力学入門　第7部 第4章 §7.4.2　★ 特殊関数の性質（道具の中身）

Airy 方程式の解のうち $z\to+\infty$ で減衰するものを第一種 Airy 関数という。複素積分で

$$\Phi(z):=\frac{1}{2\sqrt\pi\,\mathrm{i}}\int_C\mathrm{d} t\ \exp\Bigl(-zt+\frac{t^3}{3}\Bigr)$$

と定義できる。積分路 $C$ は、被積分関数が遠方で消える扇形領域（$\mathrm{Re}\,t^3>0$ が破れる $\arg t\simeq\pm\pi/3$ を挟む谷）を、下方の谷から入って上方の谷へ抜けるようにとる。この表示が Airy 方程式を満たすことは一行で確かめられる：

$$\Bigl(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} z^2}-z\Bigr)\Phi =\frac{1}{2\sqrt\pi\,\mathrm{i}}\int_C\mathrm{d} t\,(t^2-z)\,\mathrm{e}^{-zt+t^3/3} =\frac{1}{2\sqrt\pi\,\mathrm{i}}\int_C\mathrm{d} t\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathrm{e}^{-zt+t^3/3}=0$$

——被積分関数が完全微分になり、端点（両方の谷）で $\mathrm{e}^{t^3/3}\to0$ だから消えるのである。

必要になるのは漸近形だけである。積分表示に鞍点法を適用すると（鞍点 $t=\pm\sqrt z$；導出の詳細は数学的手法の教科書「鞍点法」の章に譲る）

$$\Phi(z)\ \sim\ \begin{cases} \dfrac{1}{2}\,z^{-1/4}\exp\Bigl(-\dfrac23 z^{3/2}\Bigr) & (z\to+\infty:\ \text{禁止側，減衰})\\[10pt] |z|^{-1/4}\sin\Bigl(\dfrac23|z|^{3/2}+\dfrac\pi4\Bigr) & (z\to-\infty:\ \text{許容側，振動}) \end{cases}\tag{7.4.1}$$

図 4.1 に $\Phi(z)/\sqrt\pi=\mathrm{Ai}(z)$（標準規格化）と漸近形 (7.4.1) を重ねた。$|z|\gtrsim2$ で既に漸近形はほぼ厳密解に乗っており（数値でも確認済み：$z=-9$ で誤差数%、$z=9$ で $0.4\%$）、「回帰点のすぐ外側から WKB が使える」ことが見てとれる。

図 4.1：Airy 関数 $\mathrm{Ai}(z)$（実線）と漸近形 (7.4.1)（破線・点線）。

漸近形 (7.4.1) の2行を見比べることが、本章の核心である。左辺は同じ一つの関数なのに、右辺は禁止側で「係数 $\tfrac12$ の減衰指数」、許容側で「位相 $+\pi/4$ の正弦振動」——この係数 2 と位相 $\pi/4$ の対応こそ、WKB の左右の係数を結びつける情報である。実際、線形ポテンシャルでは

$$\frac{1}{\hbar}\int p\,\mathrm{d} x=\frac23|z|^{3/2},\qquad \frac{1}{\hbar}\int \rho\,\mathrm{d} x=\frac23 z^{3/2},\qquad p,\rho\propto|z|^{1/2}\ \Rightarrow\ \frac{1}{\sqrt p}\propto|z|^{-1/4}$$

となるので、(7.4.1) はまさに「両側の WKB 解を1本の関数で内挿したもの」と読める。