接続公式

量子力学入門　第7部 第4章 §7.4.3　★★ 典型計算の心臓部。位相 $\pi/4$ の起源

以上を一般の回帰点に翻訳したものが接続公式である。回帰点 $a$ に対し（積分はすべて回帰点から測る）：

「$-$」型（$x<a$ 禁止 $\to$ $x>a$ 許容）：

$$\frac{C}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_x^a\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr) \quad\longrightarrow\quad \frac{2C}{\sqrt p}\cos\Bigl(\frac1\hbar\int_a^x p\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr)\tag{7.4.2}$$

「$+$」型（$x<a$ 許容 $\leftarrow$ $x>a$ 禁止）：

$$\frac{2C}{\sqrt p}\cos\Bigl(\frac1\hbar\int_x^a p\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr) \quad\longleftarrow\quad \frac{C}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_a^x\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr)\tag{7.4.3}$$

第3の公式（進行波用；$x>a$ 許容側に外向き進行波だけがある場合）：

$$\frac{-\mathrm{i} C}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(+\frac1\hbar\int_x^a\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr) \quad\longleftarrow\quad \frac{C}{\sqrt p}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_a^x p\,\mathrm{d} x'-\frac{\pi\mathrm{i}}{4}\Bigr)\tag{7.4.4}$$

第3の公式は、減衰解（$\mathrm{Ai}$ 型）だけでは進行波（$\cos$ でなく $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\cdot)}$）を作れないため、$z\to+\infty$ で指数的に増大する第二の独立解（$\mathrm{Bi}$ 型）を混ぜて初めて得られるものである。禁止領域側が増大解になっている（積分の向きに注意）ことがその名残で、トンネル効果（第6章）で主役になる。