3領域のセットアップ

量子力学入門　第7部 第5章 §7.5.1　★★ 2 つの回帰点をつなぐ設定

接続公式の最初の収穫は、束縛状態のエネルギー準位が「位相空間の面積」で決まる、という美しい量子化条件である。

下に凸なポテンシャルの谷にエネルギー $E$ の束縛状態を考える。回帰点を $a<b$ とし、領域を I（$x<a$、禁止）・II（$a<x<b$、許容）・III（$x>b$、禁止）と呼ぶ（図 5.1）。

図 5.1：束縛状態の3領域。禁止領域 I・III では指数減衰、許容領域 II では振動解。

束縛状態の境界条件は「$x\to\pm\infty$ で減衰」である。よって

$$\varphi_{\mathrm I}(x)=\frac{A}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_x^a\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr),\qquad \varphi_{\mathrm{III}}(x)=\frac{C}{\sqrt\rho}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_b^x\rho\,\mathrm{d} x'\Bigr)$$

と、両端とも減衰解だけを採る。接続公式の矢印（前章の Point）に忠実に、両側の減衰解から中央の振動解を決めて、中央で突き合わせる——これが方針である。