セットアップ：障壁と3つの領域

量子力学入門　第7部 第6章 §7.6.1　★★ 障壁透過の設定

WKB のもう一つの主戦場が、古典的には越えられない障壁を粒子が「すり抜ける」トンネル効果である。禁止領域の指数解が、ここでは主役として働く。

上に凸な障壁 $V(x)$ を、エネルギー $E$ の粒子が左から入射する。$V(x)=E$ の交点を $a<b$ とし、領域 I（$x<a$、許容）・II（$a<x<b$、禁止）・III（$x>b$、許容）と呼ぶ（図 6.1）。境界条件は「領域 III には透過波（右向き進行波）しかない」：

$$\varphi_{\mathrm{III}}(x)=\frac{C}{\sqrt p}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_b^x p\,\mathrm{d} x'-\frac{\pi\mathrm{i}}{4}\Bigr).$$

図 6.1：トンネル効果。障壁内（II）で波動関数は指数的に減衰し、透過振幅は $\mathrm{e}^{-L}$ に縮む。

接続はここでも「読み取れる側から決める」順で進める：III の進行波 $\to$（第3公式）$\to$ II $\to$（「$-$」型）$\to$ I、の順に右から左へたどる。